Question

已知命题P：?x∈[-1，2]，都有x²-a≥0，命题Q：?x∈R，都有2x²+ax+1＞0，恒成立，若P∧Q为假命题，P∨Q为真命题，求a的取值范围．

Answer 1

考点：复合命题的真假

专题：简易逻辑

分析：求出命题P为真时a的取值范围，命题Q为真时a的取值范围；
由P∧Q为假命题，P∨Q为真命题，得P为假Q为真，或Q为假P为真，从而求出a的取值范围．

解答： 解：∵命题P：?x∈[-1，2]，都有x²-a≥0，
∴a≤x²，当x∈[-1，2]时，x²≥0，∴a≤0；
∵命题Q：?x∈R，都有2x²+ax+1＞0恒成立，
∴a²-8＜0，即-2

2

＜a＜2

2

；
又∵P∧Q为假命题，P∨Q为真命题，
∴当P为假命题Q为真命题时，

a＞0 -2 2 ＜a＜2 2

，即0＜a＜2

2

；
当Q为假命题P为真命题时，

a≤0 a≤-2 2 ，或a≥2 2

，即a≤-2

2

；
综上，a的取值范围是{a|a≤-2

2

，或0＜a＜2

2

}．

点评：本题通过复合命题的真假性，考查了函数在闭区间上的最值问题，以及一元二次不等式的恒成立问题，是综合题目．