题目内容

1．已知F是双曲线C：$\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{9}$=1的右焦点，P是C的左支上一点，A（0，$\sqrt{11}$）．则△APF的周长的最小值为20．

分析 求出左焦点H的坐标，由双曲线的定义可得|PF|+|PA|=2a+|PH|+|PA|≥2a+|AH|，求得2a+|AH|的值，即可求出△PAF周长的最小值．

解答 解：∵F是双曲线C：$\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{9}$=1的右焦点，
∴a=4，b=3，c=5，F（5，0 ），左焦点为H（-5，0），
由双曲线的定义可得|PF|-|PH|=2a=8，
|PF|+|PA|=2a+|PH|+|PA|
≥2a+|AH|=8+$\sqrt{25+11}$=8+6=14，
∵|AF|=$\sqrt{25+11}$=6，
∴当且仅当A，P，H共线时，△PAF周长取得最小值为14+6=20．
故答案为：20．

点评 本题考查双曲线的定义和方程，以及双曲线的简单性质的应用，把|PF|+|PA|化为2a+|PH|+|PA|是解题的关键．

练习册系列答案
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A．[0，+∞）B．（$\frac{35}{6}$，+∞）C．（-∞，0]D．（-∞，$\frac{3}{2}$）
7．下列表述正确的是（　　）
A．过平面β外一点可以作无数条直线与平面β平行
B．过直线l外一点可作无数条直线平行于l
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A．$\frac{x^2}{25}-\frac{y^2}{16}=1$B．$\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{25}=1$C．$\frac{x^2}{5}-\frac{y^2}{4}=1$D．$\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{5}=1$

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