Question

15．设等比数列{a_n}的前n项和为S_n，3a₇=a₄²，a₂=2a₁，在等差数列{b_n}中，b₃=a₄，b₁₅=a₅
（1）求证：S_n=2a_n-3
（2）求数列{$\frac{4}{（n+8）{b}_{n}}$}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）设等比数列{a_n}的公比为q，由3a₇=a₄²，a₂=2a₁，可得$3{a}_{1}{q}^{6}$=${a}_{1}^{2}{q}^{6}$，解得q，a₁．再利用等比数列的通项公式与求和公式即可得出．
（2）利用等差数列的通项公式、“裂项求和”方法即可得出．

解答 （1）证明：设等比数列{a_n}的公比为q，
∵3a₇=a₄²，a₂=2a₁，∴$3{a}_{1}{q}^{6}$=${a}_{1}^{2}{q}^{6}$，q=2．
解得a₁=3．
∴a_n=3×2^n-1，S_n=$\frac{3（{2}^{n}-1）}{2-1}$=3×2ⁿ-3．
∴S_n=2a_n-3．
（2）解：设等差数列{b_n}的公差为d，b₃=a₄=3×2³=24，b₁₅=a₅=3×2⁴=48．
∴48=24+12d，解得d=2．
∴b_n=24+2（n-3）=2n+18．
$\frac{4}{（n+8）{b}_{n}}$=$\frac{4}{（n+8）•（2n+18）}$=2$（\frac{1}{n+8}-\frac{1}{n+9}）$．
∴数列{$\frac{4}{（n+8）{b}_{n}}$}的前n项和T_n=2$[（\frac{1}{9}-\frac{1}{10}）+（\frac{1}{10}-\frac{1}{11}）$+…+$（\frac{1}{n+8}-\frac{1}{n+9}）]$
=2$（\frac{1}{9}-\frac{1}{n+9}）$=$\frac{2n}{9（n+9）}$．

点评 本题考查了等差数列与等比数列的通项公式、“裂项求和”方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．