Question

5．某中学拟在高一下学期开设游泳选修课，为了了解高一学生喜欢游泳是否与性别有关，该学校对100名高一新生进行了问卷调查，得到如下列联表：

	喜欢游泳	不喜欢游泳	合计
男生		10
女生	20
合计

已知在这100人中随机抽取1人抽到喜欢游泳的学生的概率为$\frac{3}{5}$．
（1）请将上述列联表补充完整：并判断是否有99.9%的把握认为喜欢游泳与性别有关？并说明你的理由；
（2）针对于问卷调查的100名学生，学校决定从喜欢游泳的人中按分层抽样的方法随机抽取6人成立游泳科普知识宣传组，并在这6人中任选2人作为宣传组的组长，设这两人中男生人数为X，求X的分布列和数学期望．
下面的临界值表仅供参考：

P（K2≥k）	0.15	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005	0.001
k	2.072	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828

（参考公式：${K^2}=\frac{{n{{（{ad-bc}）}^2}}}{{（{a+b}）（{c+d}）（{a+c}）（{b+d}）}}$，其中n=a+b+c+d）

Answer 1

分析 （1）根据在100人中随机抽取1人抽到喜欢游泳的学生的概率为$\frac{3}{5}$，可得喜爱游泳的学生，即可得到列联表；利用公式求得K²，与临界值比较，即可得到结论；
（2）喜欢游泳的共60人，按分层抽样抽取6人，则每个个体被抽到的概率均为$\frac{1}{10}$，从而需抽取男生4人，女生2人．故X的所有可能取值为0，1，2，求出相应的概率，即可求X的分布列和数学期望．

解答 解：（1）因为在100人中随机抽取1人抽到喜欢游泳的学生的概率为$\frac{3}{5}$，
所以喜欢游泳的学生人数为$100×\frac{3}{5}=60$人…（1分）
其中女生有20人，则男生有40人，列联表补充如下：

	喜欢游泳	不喜欢游泳	合计
男生	40	10	50
女生	20	30	50
合计	60	40	100

…（3分）
因为${K^2}=\frac{{100{{（{40×30-20×10}）}^2}}}{60×40×50×50}≈16.67＞10.828$…（5分）
所以有99.9%的把握认为喜欢游泳与性别有关…（6分）
（2）喜欢游泳的共60人，按分层抽样抽取6人，则每个个体被抽到的概率均为$\frac{1}{10}$，
从而需抽取男生4人，女生2人．
故X的所有可能取值为0，1，2…（7分）$P（{X=0}）=\frac{C_2^2}{C_6^2}=\frac{1}{15}；P（{X=1}）=\frac{C_4^1C_2^1}{C_6^2}=\frac{8}{15}；P（{X=2}）=\frac{C_4^2}{C_6^2}=\frac{6}{15}=\frac{2}{5}$，
X的分布列为：

X	0	1	2
P	$\frac{1}{15}$	$\frac{8}{15}$	$\frac{2}{5}$

…（10分）
$EX=0×\frac{1}{15}+1×\frac{8}{15}+2×\frac{2}{5}=\frac{4}{3}$…（12分）

点评 本题考查独立性检验知识，考查X的分布列和数学期望，考查学生的计算能力，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．