Question

8．已知全集U=R，集合A={x|x²-4x+3≥0}，B={x|2k＜x＜k+1}．
（1）若A⊆∁_UB，求实数k的取值范围；
（2）若（∁_UA）∩B≠∅，求实数k的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求解一元二次不等式化简A，然后分B为∅和不是∅分类求解，当B非空时，得到∁_UB={x|x≤2k或x≥k+1}，把A⊆∁_UB转化为不等式组$\left\{\begin{array}{l}{k＜1}\\{2k≥1}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{k＜1}\\{k+1≤3}\end{array}\right.$求解k的范围；
（2）求出∁_UA，把（∁_UA）∩B≠∅转化为关于k的不等式组，求解不等式组得答案．

解答 解：全集U=R，集合A={x|x²-4x+3≥0}={x|x≤1或x≥3}，B={x|2k＜x＜k+1}．
（1）当2k≥k+1，即k≥1时，B=∅，∁_UB=R，满足A⊆∁_UB；
当2k＜k+1，即k＜1时，∁_UB={x|x≤2k或x≥k+1}，
要使A⊆∁_UB，则$\left\{\begin{array}{l}{k＜1}\\{2k≥1}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{k＜1}\\{k+1≤3}\end{array}\right.$，解得k＜1．
综上，满足A⊆∁_UB的实数k的取值范围为R；
（2）∁_UA={x|1＜x＜3}，要使（∁_UA）∩B≠∅，则
$\left\{\begin{array}{l}{k＜1}\\{2k＜3}\\{k+1＞1}\end{array}\right.$，解得0＜k＜1．
∴使（∁_UA）∩B≠∅的实数k的取值范围为（0，1）．

点评 本题考查交、并、补集的混合运算，考查了集合的包含关系判断及应用，体现了分类讨论的数学思想方法，是中档题．