Question

19．若函数f（x）=$\sqrt{3}$sinωxcosωx+sin²ωx-$\frac{1}{2}$（ω＞0）的图象与直线y=m（m为常数）相切，并且切点的横坐标依次成公差为π的等差数列．
（1）求f（x）的表达式及m的值；
（2）将函数y=f（x）的图象向左平移$\frac{π}{12}$，得到y=g（x）的图象，若直线x=x₀是函数g（x）的图象一条对称轴，求f（x₀）的值．

Answer 1

分析 （1）利用二倍角公式及辅助角公式，求得f（x）的解析式，由T=π，即可求得ω的值，由正弦函数图象即可求得m的值；
（2）根据函数的图象变换，求得y=g（x）的解析式，根据正弦函数的对称轴，求得2x₀=kπ+$\frac{π}{2}$，（k∈Z），代入即可求得f（x₀）得值．

解答 解：（1）f（x）=$\sqrt{3}$sinωxcosωx+sin²ωx-$\frac{1}{2}$，
=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2ωx+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{2}$cos2ωx-$\frac{1}{2}$，
=sin（2ωx-$\frac{π}{6}$），
由题意可知：T=π，
∴T=$\frac{2π}{2ω}$=π，
∴ω=1，
∴f（x）=sin（2x-$\frac{π}{6}$），
由正弦函数图象可知：m=±1，
（2）y=f（x）的图象向左平移$\frac{π}{12}$，y=g（x）=sin[2（x+$\frac{π}{12}$）-$\frac{π}{6}$]=sin2x，
直线x=x₀是函数g（x）的图象一条对称轴，
∴2x₀=kπ+$\frac{π}{2}$，（k∈Z），
x₀=$\frac{kπ}{2}$+$\frac{π}{4}$，
f（x₀）=sin（kπ+$\frac{π}{2}$-$\frac{π}{6}$）=sin（kπ+$\frac{π}{3}$），（k∈Z），
f（x₀）=±$\frac{\sqrt{3}}{2}$．

点评 本题考查三角函数恒等变换的应用，正弦函数图象变换，考查正弦函数图象及性质，考查分析问题及解决问题的能力，属于中档题．