Question

已知实数a、b满足a-b+4≥0，a+b-4≤0，b≥0，b≤ka，记a+2b的最大值为f（k），给出下列命题：
①若m≠n，使得f（m）=f（n），则mn＜0；②?m＞0，?n＜0，使得f（m）=f（n）；③?m＜0，?n＞0，使得f（m）=f（n）．其中错误的命题有

 

（写出所有错误命题的序号）

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：函数的性质及应用,不等式的解法及应用,简易逻辑

分析：分类画出可行域，求得a+2b的最大值为f（k），由分段函数f(k)=

4+8k 1+k ，k＞0 4，k=0 4+8k k-1 ，k＜0

的单调性判断①；分段求出值域判断②③．

解答： 解：当k＞0时，由a-b+4≥0，a+b-4≤0，b≥0，b≤ka作出可行域如图，

联立

a+b-4=0 b=ka

，得A（

4

1+k

，

4k

1+k

），
∴f（k）=

4+8k

1+k

；
当k＜0时，由a-b+4≥0，a+b-4≤0，b≥0，b≤ka作出可行域如图，

联立

a-b+4=0 b=ka

，得A（

4

k-1

，

4k

k-1

），
∴f（k）=

4+8k

k-1

．
∴f(k)=

4+8k 1+k ，k＞0 4，k=0 4+8k k-1 ，k＜0

．
∵h函数f（k）是（-∞，0），（0，+∞）上的单调函数，
∴若m≠n，使得f（m）=f（n），则mn＜0正确，①正确；
∵f(k)=

4+8k

1+k

(k＞0)∈(4，8).f(k)=

4+8k

k-1

(k＜0)∈(-4，8)．
∴?m＞0，?n＜0，使得f（m）=f（n）正确，②正确；
?m＜0，?n＞0，使得f（m）=f（n）错误，③错误．
故答案为：③．

点评：本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合和分类讨论的数学思想方法，考查了数学转化思想方法，是中档题．