题目内容

15．已知公差不为零的等差数列{an}满足a6=14，且a1，a3，a7为等比数列{bn}的前三项．
（Ⅰ）求数列{an}、{bn}的通项公式；
（Ⅱ）设cn=an-bn，求数列{cn}的前n项和．

分析 （1）设等差数列{an}的公差为d，求出公差a1，d的值，即可得到数列{an}的通项公式，再求出公比，即可求出{bn}的通项公式
（2）根据等差数列和等比数列的前n项和公式分组求和即可

解答 解：（Ⅰ）设公差为d，由a6=14，且a1，a3，a7为等比数列{bn}的前三项，可得
$\begin{array}{l}\left\{\begin{array}{l}{a_1}+5d=14\\{（{a_1}+2d）^2}={a_1}•（{a_1}+6d）\end{array}\right.\end{array}$，
解得a1=4，d=2，
∴an=4+（n-1）•2=2n+2，
∴q=$\frac{{a}_{3}}{{a}_{1}}$=2，
∴bn=4•2n-1=2n+1，
（Ⅱ）cn=an-bn，
∴Sn=c1+c2+c3+…+cn=a1-b1+a2-b2+a3-b3+an-bn=（a1+a2+a3+…+an）-（b1+b2+b3+…+bn）=$\frac{（4+2n+n）}{2}$-$\frac{4（1-{2}^{n}）}{1-2}$=n2+3n+4-2n+2．

点评 本题主要考查等比数列的定义和性质，等比数列的通项公式，等差数列的通项公式，分组求和，属于中档题．

练习册系列答案
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