题目内容
5．若实数a，b，c，d满足$\frac{2{a}^{2}-lna}{b}$=$\frac{3c-2}{d}$=1，则（a-c）2+（b-d）2的最小值为$\frac{1}{10}$．分析 由题意可得b=-lna+2a2，d=3c-2．分别令y=f（x）=-lnx+2x2，y=g（x）=3x-2，转化为两个函数f（x）与g（x）的点之间的距离的最小值．设与直线y=3x-2平行且与曲线f（x）相切的切点为P（x0，y0），求出切点P到直线y=3x-2的距离d，则（a-c）2+（b-d）2的最小值为d2．
解答 解：∵实数a，b，c，d满足$\frac{2{a}^{2}-lna}{b}$=$\frac{3c-2}{d}$=1
可得b=-lna+2a2，d=3c-2，
分别令y=f（x）=-lnx+2x2，y=g（x）=3x-2，
转化为两个函数f（x）与g（x）的点之间的距离的最小值，
f′（x）=-$\frac{1}{x}$+4x，设与直线y=3x-2平行且与曲线f（x）相切的切点为P（x0，y0），
则-$\frac{1}{{x}_{0}}$+4x0=3，x0＞0，解得x0=1，可得切点P（1，2），
切点P（1，2）到直线y=3x-2的距离d=$\frac{|3-2-2|}{\sqrt{10}}$=$\frac{1}{\sqrt{10}}$．
∴（a-c）2+（b-d）2的最小值为d2=$\frac{1}{10}$．
故答案为：$\frac{1}{10}$．
点评 本题考查了利用导数研究曲线的切线、平行线之间的斜率关系、点到直线的距离公式、函数的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
练习册系列答案
相关题目
16．在区间[0，1]上任选两个数x和y，则$y≥\sqrt{1-{x^2}}$的概率为（ ）
| A． | $\frac{π}{6}$ | B． | $\frac{π}{4}$ | C． | $1-\frac{π}{6}$ | D． | $1-\frac{π}{4}$ |
10．在[0，π]内任取一个实数x，则sinx≤$\frac{1}{2}$的概率为（ ）
| A． | $\frac{2}{3}$ | B． | $\frac{1}{2}$ | C． | $\frac{1}{3}$ | D． | $\frac{1}{4}$ |