Question

已知数列{a_n}满足：a₁=1，且n为奇数时，a_n+1=2a_n，n为偶数时，a_n+1=a_n+1，n∈N^*．
（1）求a₂，a₃并证明数列{a_2n-1+1}为等比数列；
（2）求数列{a_n}的前2n+1项和S_2n+1．

Answer 1

考点：数列的求和,等比关系的确定

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）将n=1，2代入已知条件，求出a₂，a₃的值；由a_2n+1=a_2n+1=2a_2n-1+1，得到a_2n+1+1=2（a_2n+1），据等比数列的定义证出数列{a_2n-1+1}为公比是2的等比数列；
（2）由（1）求出a2n-1=2n-1代入前2n+1项和S_2n+1．利用分组求和及等比数列的前n项和公式求出．

解答： 解：（1）a₂=2a₁=2，a₃=a₂+1=3，
∵a_2n+1=a_2n+1=2a_2n-1+1，
∴a_2n+1+1=2（a_2n-1+1），
∴数列{a_2n-1+1}为公比是2的等比数列；
（2）S_2n+1=（a₁+a₂）+（a₃+a₄）+…+（a_2n-1+a_2n）+a_2n+1+a_2n+1
=3a₁+3a₃+…+3a_2n-1+a_2n+1
由（1）知，
∴a2n-1+1=2n，
∴a2n-1=2n-1
∴S2n+1=3[(2-1)+(22-1)+…+(2n-1）]+a2n+1=3(2

1-2n

1-2

-n)+2n+1-1=2ⁿ⁺³-3n-7

点评：本题考查利用等差数列、等比数列的定义证明数列为等差数列、等比数列；考查数列求和的方法，属于一道中档题．