Question

△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，向量

m

=（2sin

B

2

，2

2

），

n

=（cosB，2cos²

B

4

-1），且

m

∥

n

．
（Ⅰ）求角B的余弦值；
（Ⅱ）若b=2，求S_△ABC的最大值．

Answer 1

考点：余弦定理的应用,平面向量的综合题

专题：解三角形,不等式的解法及应用

分析：（Ⅰ）利用向量平行的坐标公式，建立方程关系，即可求角B的余弦值；
（Ⅱ）根据余弦定理结合三角形的面积公式以及基本不等式的性质即可求出三角形面积的最值．

解答： 解：（Ⅰ）∵向量

m

=（2sin

B

2

，2

2

），

n

=（cosB，2cos²

B

4

-1），且

m

∥

n

，
∴2sin

B

2

（2cos²

B

4

-1）-2

2

cosB=0；
即2sin

B

2

cos

B

2

=2

2

cosB，
则sinB=2

2

cosB，①
联立sin²B+cos²B=1，解得cosB=

1

3

．
（Ⅱ）在△ABC中，由余弦定理得b²=a²+c²-2accosB≥2ac-2accosB，
∵b=2，得cosB=

1

3

．
∴4≥2ac-2ac•

1

3

=

4

3

ac，即ac≤3当且仅当a=c取等号．
S_△ABC=

1

2

ac•sinB=

1

2

ac•

1-cos2B

=

1

2

×

2 2

3

ac=

2

3

ac≤

2

3

×3=

2

，
即S_△ABC的面积的最大值为

2

．

点评：本题主要考查解三角形的应用，利用向量平行的坐标公式求出cosB是解决本题的关键，综合考查的余弦定理以及基本不等式的应用．综合性较强．