Question

如图，圆O为Rt△ABC的内切圆，已AC=3，BC=4，AB=5，过圆心O的直线l交圆O于P、Q两点，则

BP

•

CQ

的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：向量在几何中的应用,平面向量数量积的运算

专题：平面向量及应用,直线与圆

分析：以O为坐标原点，与直线BC平行的直线为x轴，与直线AC平行的直线为y轴，建立直角坐标系，设△ABC的内切圆的半径为r，运用面积相等可得r=1，设出圆的方程，求得交点P，Q，讨论直线的斜率k不存在和大于0，小于0的情况，运用向量的坐标运算，结合数量积的坐标表示和不等式的性质，计算即可得到范围．

解答： 解：以O为坐标原点，与直线BC平行的直线为x轴，
与直线AC平行的直线为y轴，建立直角坐标系，
设△ABC的内切圆的半径为r，
运用面积相等可得，

1

2

×3×4=

1

2

r（3+4+5），
解得r=1，
则B（-3，-1），C（1，-1），
即有圆O：x²+y²=1，
当直线PQ的斜率不存在时，即有P（0，1），Q（0，-1），

BP

=（3，3），

CQ

=（-1，0），即有

BP

•

CQ

=-3．
当直线PQ的斜率存在时，设直线l：y=kx，（k＜0），
代入圆的方程可得P（-

1

1+K2

，-

k

1+k2

），Q（

1

1+K2

，

k

1+k2

），
即有

BP

=（3-

1

1+K2

，1-

k

1+k2

），

CQ

=（

1

1+K2

-1，

k

1+k2

+1），
则有

BP

•

CQ

=（3-

1

1+K2

）（

1

1+K2

-1）+（1-

k

1+k2

）（

k

1+k2

+1）
=-3+

4

1+k2

，
由1+k²≥1可得0＜

4

1+k2

≤4，
则有-3＜-3+

4

1+k2

≤1．
同理当k＞0时，求得P（

1

1+K2

，

k

1+k2

），Q（-

1

1+K2

，-

k

1+k2

），
有

BP

•

CQ

═-3-

4

1+k2

，
可得-7≤-3+

4

1+k2

＜-3．．
综上可得，

BP

•

CQ

的取值范围是[-7，1]．
故答案为：[-7，1]．

点评：本题考查向量的数量积的坐标表示，主要考查向量的坐标运算，同时考查直线和圆联立求交点，考查不等式的性质，属于中档题．