Question

一个直径AB等于2的半圆，过A作这个圆所在平面的垂线，在垂线上取一点S，使AS=AB，C为半圆上的一个动点，M、N分别为A在SB、SC上的射影．当三棱锥S-AMN的体积最大时，SC与平面ABC所成角的正弦值是

 

．

Answer 1

考点：棱柱、棱锥、棱台的体积,直线与平面所成的角

专题：空间位置关系与距离

分析：易知BC⊥平面SAC，进而结合线面垂直的判定和性质，可得SM⊥平面AMN，当AN=MN=1时平面AMN取最大值，进而得到答案．

解答： 解：如下图所示：SA⊥平面ABC，BC?平面ABC，
∴SA⊥BC，又由BC⊥AC，SA∩AC=A，SA，AC?平面SAC，
∴BC⊥平面SAC，

又由AN?平面SAC，
∴BC⊥AN，
又由AN⊥SC，SC∩BC=C，SC，BC?平面SBC，
∴AN⊥平面SBC，
又由SB?平面SBC，
∴AN⊥SB，
又由AM⊥SB，AN∩AM=A，AN，AM?平面AMN，
∴SB⊥平面AMN，
即SM为三棱锥S-AMN中平面AMN上的高，
∵SA=AB=2，
∴AM=SM=

2

，
而AN⊥MN，
故△AMN是斜边为

2

的直角三角形，
故当AN=MN=1时，△AMN的面积S取最大值，
此时三棱锥S-AMN的体积取最大值，
此时SC与平面ABC所成角∠SCA满足，
cos∠SCA=

1

2

，
则sin∠SCA=

3

2

，
故答案为：

3

2

点评：本题考查的知识点是棱锥的体积，直线与平面所成的角，其中分析出棱锥体积取最大值时，AN=1是解答的关键．