题目内容
已知数列{an}中，a1=1，an+1=an2+2an（n∈N+）．
（1）证明：{log2（an+1）}是等比数列，并求数列{an}的通项公式；
（2）记数列{bn}满足bn=
，求证：bn=
．
（1）证明：{log2（an+1）}是等比数列，并求数列{an}的通项公式；
（2）记数列{bn}满足bn=
| an+1 |
| an+1 |
| an+1-an |
| anan+1 |
考点：数列的求和,等比关系的确定
专题：等差数列与等比数列
分析：（1）由已知an+1+1=an2+2an+1=（an+1）2，得log2（an+1+1）=2log2（an+1），由此能证明{log2（an+1）}是等比数列，从而能求出an=22n-1-1．
（2）由已知得
=
=
，结合bn=
，综合可得答案．
（2）由已知得
| an+1-an |
| anan+1 |
| an2+an |
| anan+1 |
| an+1 |
| an+1 |
| an+1 |
| an+1 |
解答：
（1）证明：∵an+1=an2+2an，
∴an+1+1=an2+2an+1=（an+1）2，
∴log2（an+1+1）=2log2（an+1），
∴
=2，
∴{log2（an+1）}是等比数列，
∵log2（a1+1）=log22=1，
∴log2(an+1)=2n-1，
∴an=22n-1-1．
（2）证明：
=
=
；
而bn=
，
故bn=
．
∴an+1+1=an2+2an+1=（an+1）2，
∴log2（an+1+1）=2log2（an+1），
∴
| log2(an+1+1) |
| log2(an+1) |
∴{log2（an+1）}是等比数列，
∵log2（a1+1）=log22=1，
∴log2(an+1)=2n-1，
∴an=22n-1-1．
（2）证明：
| an+1-an |
| anan+1 |
| an2+an |
| anan+1 |
| an+1 |
| an+1 |
而bn=
| an+1 |
| an+1 |
故bn=
| an+1-an |
| anan+1 |
点评：本题考查等比数列的证明，考查数列的通项公式的求法，是中档题，解题时要注意构造法的合理运用．
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