题目内容
已知四棱锥P-ABCD，底面ABCD为梯形，AB∥CD，AD⊥CD，AB=1，PA⊥平面ABCD，PA=AD=DC=2AB，点E是PC中点．
（Ⅰ）求证：BE⊥DC
（Ⅱ）若F为棱PC上一点，满足BF⊥AC，求二面角F-AB-P的余弦值．
（Ⅰ）求证：BE⊥DC
（Ⅱ）若F为棱PC上一点，满足BF⊥AC，求二面角F-AB-P的余弦值．
考点：用空间向量求平面间的夹角,直线与平面垂直的性质
专题：空间角
分析：（Ⅰ）由题意取CD中点M，要证BE⊥DC，可证DC⊥平面EBM，需证CD⊥EM，CD⊥BM，然后利用已知的线面垂直得到面面垂直，再由面面垂直的性质得到线面垂直，最后得到线线垂直，由线面垂直的性质得答案；
（Ⅱ）以A为坐标原点，分别以AD，AB，AP所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，设
=λ
(0≤λ≤1)，由BF⊥AC转化为向量的数量积为0求得λ的值，然后分别求出两个平面EAB与ABP的一个法向量，由法向量所成的角的余弦值得答案．
（Ⅱ）以A为坐标原点，分别以AD，AB，AP所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，设
| CF |
| CP |
解答：
解：（Ⅰ）证明：如图，
取CD中点M，连接MB，
∵PA⊥平面ABCD，PA?平面PAD，
∴平面ABCD⊥平面PAD，
又平面ABCD∩平面PAD=AD，且AD⊥DC，
∴DC⊥平面PAD，
∴DC⊥PD，
∵E，M分别为PC，DC的中点，
∴EM∥BD，
∴CD⊥EM．
∵AB∥CD，DC=2AB，M为CD中点，
∴四边形ABMD为平行四边形，
又AD⊥CD，
∴四边形ABMD为矩形，
则CD⊥BM．
又EM∩BM=M，
∴CD⊥平面EBM，
∴BE⊥DC；
（Ⅱ）解：以A为坐标原点，分别以AD，AB，AP所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
则A（0，0，0），B（1，0，0），C（2，2，0），D（0，2，0），P（0，0，2）．
=(1，2，0)，
=(-2，-2，2)，
=(2，2，0)，
=(1，0，0)，
设
=λ
(0≤λ≤1)，
=
+
=
+λ
=（1-2λ，2-2λ，2λ），
由
•
=0，得λ=
，
则
=(-
，
，
)．
设
=(x，y，z)为平面FAB的一个法向量，
由
，得
，取z=1，得y=-3．
∴
=(0，-3，1)．
平面ABP的一个法向量为
=(0，1，0)，
cos＜
，
＞=
=
．
由已知可知，二面角F-AB-P为锐角，
∴二面角F-AB-P的余弦值为
．
取CD中点M，连接MB，
∵PA⊥平面ABCD，PA?平面PAD，
∴平面ABCD⊥平面PAD，
又平面ABCD∩平面PAD=AD，且AD⊥DC，
∴DC⊥平面PAD，
∴DC⊥PD，
∵E，M分别为PC，DC的中点，
∴EM∥BD，
∴CD⊥EM．
∵AB∥CD，DC=2AB，M为CD中点，
∴四边形ABMD为平行四边形，
又AD⊥CD，
∴四边形ABMD为矩形，
则CD⊥BM．
又EM∩BM=M，
∴CD⊥平面EBM，
∴BE⊥DC；
（Ⅱ）解：以A为坐标原点，分别以AD，AB，AP所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
则A（0，0，0），B（1，0，0），C（2，2，0），D（0，2，0），P（0，0，2）．
| BC |
| CP |
| AC |
| AB |
设
| CF |
| CP |
| BF |
| BC |
| CF |
| BC |
| CP |
由
| BF |
| AC |
| 3 |
| 4 |
则
| BF |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| 3 |
| 2 |
设
| n |
由
|
|
∴
| n |
平面ABP的一个法向量为
| m |
cos＜
| m |
| n |
| ||||
|
|
3
| ||
| 10 |
由已知可知，二面角F-AB-P为锐角，
∴二面角F-AB-P的余弦值为
3
| ||
| 10 |
点评：本题考查了平面与平面垂直的判断，考查了平面与平面垂直的性质，训练了利用空间向量求二面角的大小，关键是建立正确的空间右手系，是中档题．
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，
）满足f′（x）cosx+f（x）sinx＞0（其中f′（x）是函数f（x）的导函数），则下列不等式成立的是（ ）
| π |
| 2 |
| π |
| 2 |
A、
| ||||||
B、f(-
| ||||||
C、f(
| ||||||
D、f(0)＞
|