Question

已知数列满足a₁+a₂+a₃=6，a_n+1=-

1

an+1

，则a₁₆+a₁₇+a₁₈=

 

．

Answer 1

考点：数列递推式

专题：点列、递归数列与数学归纳法

分析：由a_n+1=-

1

an+1

依次求得a₄=a₁，a₅=a₂，a₆=a₃，…，由此可得数列{a_n}是周期为3的周期数列，则a₁₆+a₁₇+a₁₈可求．

解答： 解：由a_n+1=-

1

an+1

，得a2=-

1

a1+1

，a3=-

1

a2+1

=-

1

- 1 a1+1 +1

=-

a1+1

a1

．
a4=-

1

a3+1

=-

1

- a1+1 a1 +1

=a1，a5=-

1

a4+1

=-

1

a1+1

，a6=-

1

a5+1

=-

1

- 1 a1+1 +1

=-

a1+1

a1

．
…
∴数列{a_n}是周期为3的周期数列，
∴a₁₆+a₁₇+a₁₈=a₁+a₂+a₃=6．
故答案为；6．

点评：本题考查了数列递推式，考查了数列的周期性，解答此题的关键在于求出数列的周期，是中档题．