题目内容
设函数f（x）=x+ax2+blnx，曲线y=f（x）过P（1，0），且在P点处的切斜线率为2．
（Ⅰ）求a，b的值；
（Ⅱ）令g（x）=f（x）-2x+2，求g（x）的单调区间．
（Ⅰ）求a，b的值；
（Ⅱ）令g（x）=f（x）-2x+2，求g（x）的单调区间．
考点：利用导数研究曲线上某点切线方程,利用导数研究函数的单调性
专题：导数的综合应用
分析：（Ⅰ）求出函数的导数，再利用f（1）=0以及f′（1）=2建立方程组，联解可得a，b的值；
（Ⅱ）先求g（x）的表达式，再求出它的导数，令导数大于0或小于0求出单调区间．
（Ⅱ）先求g（x）的表达式，再求出它的导数，令导数大于0或小于0求出单调区间．
解答：
解：（Ⅰ）因为函数f（x）=x+ax2+blnx，曲线y=f（x）过P（1，0），所以f（1）=0即1+a=0
即a=-1①，又f（x）在P点处的切斜线率为2，f'（x）=1+2ax+
，所以f'（1）=2即1+2a+b=2②
将①代入②得b=3，故a=-1，b=3
（Ⅱ）g（x）=f（x）-2x+2=x-x2+3lnx-2x+2=-x2-x+3lnx+2（x＞0）
g'（x）=-2x-1+
=
=
由g'（x）＞0得-
＜x＜1又x＞0，所以0＜x＜1；由g'（x）＜0得x＞1．
故g（x）的单调增区间是（0，1），单调减区间是（1，+∞）
即a=-1①，又f（x）在P点处的切斜线率为2，f'（x）=1+2ax+
| b |
| x |
将①代入②得b=3，故a=-1，b=3
（Ⅱ）g（x）=f（x）-2x+2=x-x2+3lnx-2x+2=-x2-x+3lnx+2（x＞0）
g'（x）=-2x-1+
| 3 |
| x |
| -2x2-x+3 |
| x |
| -(x-1)(2x+3) |
| x |
由g'（x）＞0得-
| 3 |
| 2 |
故g（x）的单调增区间是（0，1），单调减区间是（1，+∞）
点评：本小题主要考查直线的斜率、导数的几何意义、利用导数研究曲线上某点切线方程、利用导数求闭区间上函数的单调性等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题．
练习册系列答案
相关题目
函数y=3sin（2x-
）的图象是由y=3sin2x的图象经过下列哪个变换得到的（ ）
| π |
| 6 |
A、向右平移
| ||
B、向左平移
| ||
C、向右平移个
| ||
D、向左平移
|
如图，在四棱锥E-ABCD中，底面ABCD为边长为5的正方形，AE⊥平面CDE，AE=3．