Question

如图，在四棱锥E-ABCD中，底面ABCD为边长为5的正方形，AE⊥平面CDE，AE=3．
（1）若F为DE的中点，求证：BE∥平面ACF；
（2）求直线BE与平面ABCD所成角的正弦值．

Answer 1

考点：直线与平面所成的角,直线与平面平行的判定

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（1）连结AC，BD交于O，连OF，利用三角形中位线的性质，证明OF∥BE，利用线面平行的判定证明BE∥平面ACF；
（2）证明EH⊥平面ABCD，可得BH为BE在平面ABCD内的射影，∠EBH为BE与平面ABCD的所成角的平面角，从而可求直线BE与平面ABCD所成角的正弦值．

解答： （1）证明：连结AC，BD交于O，连OF．
∵F为DE中点，O为BD中点，
∴OF∥BE，
∵OF?平面ACF，BE?平面ACF，
∴BE∥平面ACF．…（6分）
（2）解：过E作EH⊥AD于H，连结BH，…（7分）
∵AE⊥平面CDE，CD?平面CDE，
∴AE⊥CD，
∵CD⊥AD，AE∩AD=A，AD，AE?平面DAE，
∴CD⊥平面DAE，
∵EH?平面DAE，
∴CD⊥EH，
∵CD∩AD=D，CD，AD?平面ABCD，
∴EH⊥平面ABCD，
∴BH为BE在平面ABCD内的射影，
∴∠EBH为BE与平面ABCD的所成角的平面角，
又∵CD∥AB，∴AB⊥平面DAE，
∴△ABE为直角三角形，
∴BE=

34

，且HE=

12

5

，
∴sin∠EBH=

6 34

85

．…（12分）

点评：本题考查线面平行，考查线面垂直，考查线面角，正确运用线面平行的判定定理是关键．