Question

已知对应任意的自然数n，抛物线y=（n²+n）x²-（2n+1）x+1与x轴相交于A，B两点，则|A₁B₁|+|A₂B₂|+|A₃B₃|+…+|A₂₀₁₄B₂₀₁₄|=

 

．

Answer 1

考点：抛物线的简单性质

专题：计算题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：先确定A_n，B_n的坐标，代入两点间的距离公式可得到|A_nB_n|的关系式，然后代入，利用叠加法，即可求得结论．

解答： 解：∵y=（n²+n）x²-（2n+1）x+1=（nx-1）[（n+1）x-1]，
∴由y=0得x=

1

n

或x=

1

n+1

∴A_n（

1

n+1

，0），B_n（

1

n

，0），
∴|A_nB_n|=

1

n

-

1

n+1

∴|A₁B₁|+|A₂B₂|+…+|A₂₀₁₄B₂₀₁₄|=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

2014

-

1

2015

=

2014

2015

．
故答案为：

2014

2015

．

点评：本题考查数列与函数的综合，考查学生分析问题与转化求解的能力，属于中档题．