Question

设f′（x₀）=2，下面说法不正确的是（　　）

• A、

  lim

  △x→0

  f(x0+3△x)-f(x0)

  △x

  =6
• B、

  lim

  h→0

  f(x0-2h)-f(x0)

  h

  =-4
• C、

  lim

  x→0

  f(x0+2x)-f(x0)

  sinx

  =2
• D、

  lim

  x→0

  f(x0+x2)-f(x0)

  1-cosx

  =4

Answer 1

考点：极限及其运算

专题：函数的性质及应用

分析：由条件利用函数在某一点的极限的定义、罗比达法则，检验各个选项是否正确，从而得出结论．

解答： 解：由于

lim

△x→0

f(x0+3△x)-f(x0)

△x

=

lim

△x→0

[3×

f(x0+3△x)-f(x0)

3△x

]=3f′（x₀）=6，故A正确．
由于

lim

h→0

f(x0-2h)-f(x0)

h

=

lim

h→0

[（-2）×

f(x0-2h)-f(x0)

-2h

]=-2f′（x₀）=-4，故B正确．
由于

lim

x→0

 

f(x0+2x)-f(x0)

sinx

=

lim

x→0

[

2x

sinx

•

f(x0+2x)-f(x0)

2x

]=

lim

x→0

[

2

cosx

]•f′（x₀）=2×2=4，故C不正确．
由于

lim

x→0

f(x0+x2)-f(x0)

1-cosx

=

lim

h→0

[

x2

1-cosx

•

f(x0+x2)-f(x0)

x2

]=

lim

h→0

[

2x

1+sinx

]•f′（x₀）=

lim

h→0

[

2

cosx

]×2=4，
故D正确，
故选：C．

点评：本题主要考查函数在某一点的极限的定义，罗比达法则的应用，属于基础题．