Question

（文科）已知A、B是抛物线y²=4x上的两点，点M（4，0）满足：

MA

=λ

BM

，动点P满足

AP

=

OB

．
①求P点轨迹方程；
②若直线AB与圆：（x-1）²+y²=1相离，求λ取值范围．

Answer 1

考点：轨迹方程,直线与圆的位置关系

专题：直线与圆

分析：①由题意可知直线AB过点M，设出A，B，P的坐标，由

AP

=

OB

得到三点坐标的关系，分直线AB的斜率存在和不存在讨论，当斜率不存在时求出P的坐标，斜率存在时设出直线方程，和抛物线方程联立后利用根与系数关系得到

x= 8k2+4 k2 y= 4 k

，消掉k得到P点轨迹方程；
②由圆心到直线的距离大于半径求得k的范围，取k的端点值，求出A，B的横坐标，利用三角形相似关系求得λ的取值范围．

解答： 解：①设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），P（x，y），
∵

MA

=λ

BM

，
∴直线AB过点M，
由

AP

=

OB

，得

x-x1=x2 y-y1=y2

，即

x1+x2=x y1+y2=y

．
当直线AB斜率不存在时，点P为（8，0）；
当直线AB的斜率存在时，设直线方程为y=k（x-4）（k≠0），
联立

y=k(x-4) y2=4x

，得k²x²-（8k²+4）x+16k²=0．
∴x1+x2=

8k2+4

k2

，y1+y2=k(x1+x2)-8k=

4

k

．
即

x= 8k2+4 k2 y= 4 k

，消掉k得y²=4x-32．
验证（8，0）适合上式．
∴P点轨迹方程为y²=4x-32；
②由y=k（x-4），得kx-y-4k=0．
∵直线AB与圆：（x-1）²+y²=1相离，
∴

|-3k|

k2+1

＞1，解得：k＜-

2

4

或k＞

2

4

．
当k=±

2

4

时，k²x²-（8k²+4）x+16k²=0化为x²-40x+16=0．
解得：x1=20+8

6

，x2=20-8

6

．
此时λ=

20+8 6 -4

4-20+8 6

=5+2

6

．
∴λ取值范围是[1，5+2

6

）∪（5-2

6

，1]．

点评：本题考查了轨迹方程的求法，考查了直线与圆的位置关系，训练了利用参数法求曲线的方程，体现了数学转化思想方法，是压轴题．