Question

已知函数f（x）=（x-a-1）（x-2a）．
（Ⅰ）当a＞1时，解关于x的不等式f（x）≤0；
（Ⅱ）若?x∈（5，7），不等式f（x）≤0恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：函数恒成立问题

专题：函数的性质及应用

分析：（Ⅰ）当a＞1时，根据一元二次不等式的解法即可求不等式f（x）≤0；
（Ⅱ）若?x∈（5，7），一元二次不等式的解法将不等式f（x）≤0恒成立进行转化，即可求实数a的取值范围．

解答： 解：（Ⅰ）当a＞1时，a-1＞0，2a＞a+1，
则不等式f（x）≤0的解为a+1≤x≤2a，
即不等式的解集为[a+1，2a]；
（II）解法1：当a=1时，2a=a+1，f（x）=（x-2）²，不符合题意．
当a＞1时，2a＞a+1，若?x∈（5，7），不等式f（x）≤0恒成立，
则有

a+1≤5 2a≥7

解得

7

2

≤a≤4．
当a＜1时，2a＜a+1，若?x∈（5，7），不等式f（x）≤0恒成立，
则有

2a≤5 a+1≥7

a无解．
综上，实数a的取值范围是

7

2

≤a≤4．
解法2：f（x）=（x-2a）（x-a-1）的图象是开口向上的抛物线，
若?x∈（5，7），不等式f（x）≤0恒成立，需且仅需

f(5)≤0 f(7)≤0

，
解得

5 2 ≤a≤4 7 2 ≤a≤6

所以

7

2

≤a≤4．
故实数a的取值范围是

7

2

≤a≤4．

点评：本题主要考查一元二次不等式的解法以及不等式恒成立问题，要求熟练掌握一元二次不等式的解法．