Question

3．若函数f（x）满足：存在非零常数a，使f（x）=-f（2a-x），则称f（x）为“准奇函数”，给出下列函数：①f（x）=x²；②f（x）=（x-1）³；③f（x）=e^x-1；④f（x）=cosx．则以上函数中是“准奇函数”的序号是②④．

Answer 1

分析 根据准奇函数的定义，先求-f（2a-x），并判断它能否等于f（x），并根据-f（2a-x）=f（x）求出a，若a≠0便得到该函数是准奇函数，若a=0便不是．按照这个方法即可判断每个选项的函数是否为准奇函数．

解答 解：A．-f（2a-x）=-（2a-x）²≤0，f（x）=x²≥0，∴f（x）=x²不是准奇函数；
B．由-f（2a-x）=-（2a-x-1）³=（x-2a+1）³=（x-1）³得，-2a+1=-1，
∴a=1，即存在a=1，使f（x）=-f（2a-x）；
∴该函数为准奇函数；
C．-f（2a-x）=-e^2a-x-1＜0，而f（x）=e^x-1＞0，∴该函数不是准奇函数；
D．存在非零常数$\frac{π}{2}$，使-f（2×$\frac{π}{2}$-x）=-cos（2×$\frac{π}{2}$-x）=cosx=f（x），
∴该函数是准奇函数．
故答案为：②④．

点评 考查对新概念-准奇函数的理解程度，以及根据准奇函数的定义判断一个函数是否为准奇函数的过程．