Question

12．已知向量$\overrightarrow{AB}$=（2，x-1），$\overrightarrow{CD}$=（1，-y），其中xy＞0，且$\overrightarrow{AB}$∥$\overrightarrow{CD}$，则$\frac{8x+y}{xy}$的最小值为25．

Answer 1

分析 由平面向量平行得到x+2y=1，再由$\frac{8x+y}{xy}$=$\frac{8x+y}{xy}$×（x+2y），利用基本不等式能求出$\frac{8x+y}{xy}$的最小值．

解答 解：∵向量$\overrightarrow{AB}$=（2，x-1），$\overrightarrow{CD}$=（1，-y），其中xy＞0，且$\overrightarrow{AB}$∥$\overrightarrow{CD}$，
∴$\frac{1}{2}=\frac{-y}{x-1}$，整理，得x=1-2y，∴x+2y=1，
∴$\frac{8x+y}{xy}$=$\frac{8x+y}{xy}$×（x+2y）=8×$\frac{x}{y}$+2×$\frac{y}{x}$+17≥17+2$\sqrt{\frac{8x}{y}•\frac{2y}{x}}$=17+8=25．
∴$\frac{8x+y}{xy}$的最小值为25．
故答案为：25．

点评 本题考查代数式的最小值的求法，是基础题，解题时要注意向量平行的性质、基本不等式的合理运用．