Question

4．在数列{a_n}中，a₁=1，${a_{n+1}}=2{a_n}+1（n∈{N^*}）$，则数列$\left\{{\frac{1}{{1+{a_n}}}}\right\}$的各项和为2ⁿ-1．

Answer 1

分析 由${a_{n+1}}=2{a_n}+1（n∈{N^*}）$，变形a_n+1+1=2（a_n+1），利用等比数列的通项公式即可得出．

解答 解：∵${a_{n+1}}=2{a_n}+1（n∈{N^*}）$，
∴a_n+1+1=2（a_n+1），
∴数列{a_n+1}是等比数列，首项为2，公比为2．
∴a_n+1=2ⁿ，
∴a_n=2ⁿ-1．
故答案为：2ⁿ-1．

点评 本题考查了等比数列的通项公式，考查了变形能力与计算能力，属于中档题．