Question

设等差数列{a_n}的前n项和为S_n，且满足S₄=16，a₄+a₁₄=34．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=

an

2n

，求数列{b_n}的前n项和为T_n；
（3）设数列{c_n}的通项公式为c_n=

an

an+t

（n∈N₊，t≠0），若c₁，c₂，c_k（k≥3，k∈N₊）成等差数列，求t和k的值．

Answer 1

考点：数列的求和,数列递推式

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由S₄=16，a₄+a₁₄=34，联立方程组求得首项和公差，即得结论；
（2）利用错位相减法求数列的和；
（3）由c₁，c₂，c_k（k≥3，k∈N₊）成等差数列，得

1

t+1

+

2k-1

2k-1+t

=

6

t+3

，
化简得k=3+

4

t-1

，再由k≥3，k∈N₊，即可得出结论．

解答： 解：（1）由题意得

2a1+3d=8 2a1+16d=34

，
∴d=2，a₁=1．则a_n=2n-1．  …..（2分）
（2）

Tn= 1 2 + 3 22 +…+ 2n-1 2n 1 2 Tn= 1 22 + 3 23 +…+ 2n-3 2n + 2n-1 2n+1

，
所以

1

2

Tn=

1

2

+

2

22

+

2

23

+…+

2

2n

-

2n-1

2n+1

所以Tn=2-

2n+3

2n

…..（6分）
（3）cn=

2n-1

2n-1+t

，c₁，c₂，c_m成等差数列，
∴

1

t+1

+

2k-1

2k-1+t

=

6

t+3

，
化简得k=3+

4

t-1

（8分）
由已知解得

t=2 k=7

，

t=3 k=5

，

t=5 k=4

（10分）

点评：本题主要考查等差数列的性质及错位相减法求数列的和等知识，考查学生方程思想在解题中的应用及其运算求解能力，属中档题．