Question

已知斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面是正三角形，侧面ABB₁A₁是菱形，且∠A₁AB=60°，M是AB的中点，A₁M⊥AC
（1）求证：A₁M⊥平面ABC；
（2）求二面角A₁-BB₁-C的余弦值．

Answer 1

考点：二面角的平面角及求法,直线与平面垂直的判定

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（1）由已知得△A₁BA为正三角形，由此能证明A₁M⊥平面ABC．
（2）以M为坐标原点建立空间直角坐标系，设菱形ABB₁A₁边长为2，由此利用向量法能求出二面角A₁-BB₁-C的余弦值．

解答： （本小题满分12分）
（1）∵侧面ABB₁A₁是菱形且∠A₁AB=60°，
∴△A₁BA为正三角形
又∵点M为AB的中点，∴A₁M⊥AB，
又∵A₁M⊥AC，∴A₁M⊥平面ABC．（5分）
（2）如图以M为坐标原点建立空间直角坐标系，
设菱形ABB₁A₁边长为2，
得B1(2，0，

3

)，B（1，0，0）C(0，

3

，0)，

BB1

=(1，0，

3

)，

BC

=(-1，

3

，0)，
设面ABB₁A₁的法向量

n1

=

MC=

(0，0，

3

)，
设面BB₁C₁C的法向量

n2

=(x ，y ，z )，
由

n2

⊥

BB1

，

n2

⊥

BC

，得

x+ 3 y=0 x+ 3 z=0

，令z=1，得

n2

=(-

3

，1，1)，
∴cos?

n1

，

n2

＞=

n1 n2

| n1 |•| n2 |

=

5

5

．
又二面角A₁-BB₁-C为锐角，
∴所求二面角的余弦值为

5

5

．（12分）

点评：本题考查直线与平面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．