Question

8．若函数y₁=x₁lnx₁，函数y₂=x₂-3，则${（{x_1}-{x_2}）^2}+{（{y_1}-{y_2}）^2}$的最小值为（　　）

• A． $\frac{{\sqrt{2}}}{2}$
• B． 1
• C． $\sqrt{2}$
• D． 2

Answer 1

分析 利用导数研究曲线的切线及其平行线之间的斜率关系、点到直线的距离公式即可得出．

解答 解：令f（x）=xlnx，g（x）=x-3，
f′（x）=lnx+1，令lnx₀+1=1，解得x₀=1，
∴可得y=x与曲线f（x）=xlnx相切于点P（1，0），与g（x）=x-3平行，
∴点P到直线g（x）=x-3的距离d的平方即为所求，
d=$\frac{|-1+3|}{\sqrt{2}}$=$\sqrt{2}$，
∴（x₁-x₂）²+（y₁-y₂）²的最小值为2，
故选：D．

点评 本题考查了利用导数研究曲线的切线及其平行线之间的斜率关系、点到直线的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．