Question

17．设数列{a_n}是首项为0的递增数列，函数f_n（x）=|sin$\frac{1}{n}$（x-a_n）|，x∈[a_n，a_n-1]满足：对于任意的实数m∈[0，1），f_n（x）=m总有两个不同的根，则{a_n}的通项公式是a_n=$\frac{n\;（n-1）\;π}{2}$．

Answer 1

分析 利用三角函数的图象与性质、诱导公式、数列的递推关系可得a_n+1-a_n=nπ，再利用“累加求和”方法、等差数列的求和公式即可得出．

解答 解：∵a₁=0，当n=1时，f₁（x）=|sin（x-a₁）|=|sinx|，x∈[0，a₂]，
又∵对任意的b∈[0，1），f₁（x）=b总有两个不同的根，∴a₂=π，
∴f₁（x）=sinx，x∈[0，π]，a₂=π，
又f₂（x）=|sin$\frac{1}{2}$（x-a₂）|=|sin$\frac{1}{2}$（x-π）|=|cos$\frac{x}{2}$|，x∈[π，a₃]，
∵对任意的b∈[0，1），f₁（x）=b总有两个不同的根，∴a₃=3π，
又f₃（x）=|sin$\frac{1}{3}$（x-a₃）|=|sin$\frac{1}{3}$（x-3π）|=|sin$\frac{1}{3}$π|，x∈[3π，a₄]，
∵对任意的b∈[0，1），f₁（x）=b总有两个不同的根，∴a₄=6π，
由此可得a_n+1-a_n=nπ，
∴a_n=a₁+（a₂-a₁）+…+（a_n-a_n-1）=0+π+…+（n-1）π=$\frac{n（n-1）}{2}$π，a_n=$\frac{n（n-1）}{2}$π．
故答案为：$\frac{n（n-1）}{2}$π．

点评 本题考查了三角函数的图象与性质、诱导公式、数列的递推关系、“累加求和”方法、等差数列的求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．