Question

10．如图，在四棱锥P-ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD是直角梯形，AB∥DC，AB⊥AD，AB=3，CD=2，PD=AD=5．E是PD上一点．
（1）若PB∥平面ACE，求$\frac{PE}{ED}$的值；
（2）若E是PD中点，过点E作平面α∥平面PBC，平面α与棱PA交于F，求三棱锥P-CEF的体积．

Answer 1

分析 （1）连结BD交AC于O，连结OE，则由PB∥平面ACE得PB∥OE，于是$\frac{PE}{ED}=\frac{OB}{OD}=\frac{AB}{CD}$；
（2）证明AD⊥平面PCD，做出F的位置得出F到平面PCD的距离与AD的关系，代入体积公式计算．

解答 解：（1）连结BD交AC于O，连结OE．
∵PB∥平面ACE，PB?平面PBD，平面ACE∩平面PBD=OE，
∴PB∥OE，
∴$\frac{PE}{DE}=\frac{OB}{OD}$，
又△AOB∽△COD，∴$\frac{OB}{OD}=\frac{AB}{CD}=\frac{3}{2}$．
∴$\frac{PE}{DE}=\frac{3}{2}$．
（2）过E作EM∥PC交CD于M，过M作MN∥BC交AB于N，过N作NF∥PB交PA于F，连接EF．
则平面EFNM为平面α．
∵E为PD的中点，∴M为CD的中点，∴CM=$\frac{1}{2}$CD=1，
∴NB=CM=1，∴$\frac{PF}{PA}=\frac{BN}{AB}=\frac{1}{3}$．
∵PD⊥平面ABCD，AD?平面ABCD，
∴PD⊥AD，又AD⊥CD，PD?平面PCD，CD?平面PCD，PD∩CD=D，
∴AD⊥平面PCD，
∵PD=AD=5，PD⊥AD，∴PA=5$\sqrt{2}$，
∴F到平面PCE的距离h=$\frac{1}{3}$AD=$\frac{5}{3}$．
∴V_P-CEF=V_F-PCE=$\frac{1}{3}{S}_{△PCE}•h$=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×\frac{5}{2}×2×\frac{5}{3}$=$\frac{25}{18}$．

点评 本题考查了线面平行的性质，棱锥的体积计算，属于中档题．