Question

13．如图，四棱锥P-ABCD中，∠ABC=∠BAD=90°，BC=2AD=2，△PAB与△PAD都是等边三角形．
（Ⅰ）证明：CD⊥平面PBD；
（Ⅱ）求P-ABCD的体积．

Answer 1

分析 （I）取BD中点O，连结PO，AO，则可证明OP⊥平面ABCD得出OP⊥CD，利用勾股定理的逆定理得出CD⊥BD，故而CD⊥平面PBD；
（II）代入体积公式V=$\frac{1}{3}{S}_{梯形ABCD}•OP$计算即可．

解答 证明：（I）取BD中点O，连结PO，AO．
∵△PAB与△PAD都是等边三角形，
∴AB=AD=PB=PD=PA=1．
∴OP⊥BD，OA⊥BD，
又∠BAD=90°，∴OA=OB=OD=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴OP=$\sqrt{P{B}^{2}-O{B}^{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴OA²+OP²=PA²，∴OP⊥OA．
∴OP⊥平面ABCD，又CD?平面ABCD，
∴OP⊥CD．
∵ABCD是直角梯形，AD=AB=1，BC=2，∴CD=$\sqrt{（2-1）^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{2}$，
∴BD²+CD²=BC²，∴CD⊥BD．
又BD?平面PBD，OP?平面PBD，OP∩BD=O，
∴OP⊥平面PBD．
解：（Ⅱ）由（Ⅰ）可知OP⊥平面ABCD，
∴V_P-ABCD=$\frac{1}{3}{S}_{梯形ABCD}•OP$=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×（1+2）×1×\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\frac{\sqrt{2}}{4}$．

点评 本题考查了线面垂直的判定，棱锥的体积计算，属于中档题．