Question

12．已知A，B，C，D为圆O上的四点，直线PA切圆O于点A，PA∥BD，AC与BD相交于G点．
（1）求证：点A为劣弧$\widehat{BD}$的中点．
（2）若AC=6，AB=3，BC=4，求BG的长．

Answer 1

分析 （1）证明∠BCA=∠DCA，即可证明点A为劣弧$\widehat{BD}$的中点．
（2）证明△ABG∽△ACB，利用AC=6，AB=3，BC=4，即可求BG的长．

解答 （1）证明：∵PA∥BD，∴∠ABD=∠BAP  …（2分）
又∵直线PA为圆O的切线，∴∠BAP=∠BCA，∴∠ABD=∠BCA
而∠ABD=∠ACD（同弧），
∴∠BCA=∠DCA，
∴点A为劣弧BD的中点． …（5分）
（2）解：由（1）知∠ABD=∠BCA，又∵∠BAG为公共角，∴△ABG∽△ACB
∴$\frac{AB}{AC}=\frac{BG}{BC}$，
又∵AC=6，AB=3，BC=4，
∴$\frac{3}{6}$=$\frac{BG}{4}$，∴BG=2   …（10分）

点评 本题考查圆的切线的性质，考查三角形相似的判定与性质，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．