Question

13．已知命题：
①若A、B、C、D是空间任意四点，则有$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{BC}$+$\overrightarrow{CD}$+$\overrightarrow{DA}$=$\overrightarrow{0}$；
②$\overrightarrow{b}$≠$\overrightarrow{0}$，则$\overrightarrow{a}$和$\overrightarrow{b}$共线的充要条件是：?λ∈R，使$\overrightarrow{a}$=λ$\overrightarrow{b}$；
③若$\overrightarrow{a}$和$\overrightarrow{b}$共线，则$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$所在直线平行；
④对空间任意一点O与不共线的三点A、B、C，若$\overrightarrow{OP}$=x$\overrightarrow{OA}$+y$\overrightarrow{OB}$+z$\overrightarrow{OC}$（其中x、y、z∈R），且x+y+z=1，则P、A、B、C四点共面．则上述命题中正确命题的个数是（　　）

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 根据向量的加法法则进行判断①；利用共线向量基本定理判断②；由向量共线的几何意义知所在的线平行或重合判断③；根据空间四点共面的等价条件进行判断④．

解答 解：①若A、B、C、D是空间任意四点，则有$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{BC}$+$\overrightarrow{CD}$+$\overrightarrow{DA}$=$\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{DA}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DA}$=$\overrightarrow{0}$，故①正确；
②由共线向量基本定理可知，$\overrightarrow{b}$≠$\overrightarrow{0}$，则$\overrightarrow{a}$和$\overrightarrow{b}$共线的充要条件是：?λ∈R，使$\overrightarrow{a}$=λ$\overrightarrow{b}$，故②正确；
③若$\overrightarrow{a}$和$\overrightarrow{b}$共线，则$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$所在直线平行或重合，故③错误；
④对空间任意一点O与不共线的三点A、B、C，若$\overrightarrow{OP}$=x$\overrightarrow{OA}$+y$\overrightarrow{OB}$+z$\overrightarrow{OC}$（其中x、y、z∈R），
且x+y+z=1，则P、A、B、C四点共面，故④正确．
∴正确命题的个数是3个．
故选：C．

点评 本题主要考查与向量有关的命题的真假判断，要求熟练掌握向量的有关概念，考查学生的推理判断能力，是中档题．