Question

3．已知数列{a_n}满足a₁=1，a_n+1=$\frac{3}{3{a}_{n}+2}$，n∈N^*．
（1）求证：$\frac{3}{5}$≤a_n≤1；
（2）求证：|a_2n-a_n|≤$\frac{2}{5}$．

Answer 1

分析 （1）当n=1时，${a}_{2}=\frac{3}{3{a}_{1}+2}$=$\frac{3}{5}$，成立；假设当n=k时，有$\frac{3}{5}≤{a}_{k}≤1$成立，则当n=k+1时，${a}_{k+1}=\frac{1}{{a}_{k}+\frac{2}{3}}$≤$\frac{1}{\frac{3}{5}+\frac{2}{3}}$≤1，${a}_{k+1}=\frac{1}{{a}_{k}+\frac{2}{3}}$≥$\frac{1}{1+\frac{2}{3}}$=$\frac{3}{5}$，由此利用数学归纳法能证明$\frac{3}{5}$≤a_n≤1．
（2）当n=1时，|a₂-a₁|=$\frac{2}{5}$，当n≥2时，|a_n+1-a_n|=$\frac{|{a}_{n}-{a}_{n-1}|}{（{a}_{n}+\frac{2}{3}）（{a}_{n-1}+\frac{2}{3}）}$≤$\frac{3}{5}$|a_n-a_n-1|＜…＜（$\frac{3}{5}$）^n-1|a₂-a₁|=$\frac{2}{5}（\frac{3}{5}）^{n-1}$，由此能证明|a_2n-a_n|≤$\frac{2}{5}$．

解答 证明：（1）用数学归纳法证明：
①当n=1时，${a}_{2}=\frac{3}{3{a}_{1}+2}$=$\frac{3}{5}$，成立；
②假设当n=k时，有$\frac{3}{5}≤{a}_{k}≤1$成立，则当n=k+1时，
${a}_{k+1}=\frac{1}{{a}_{k}+\frac{2}{3}}$≤$\frac{1}{\frac{3}{5}+\frac{2}{3}}$≤1，
${a}_{k+1}=\frac{1}{{a}_{k}+\frac{2}{3}}$≥$\frac{1}{1+\frac{2}{3}}$=$\frac{3}{5}$，
∴当n=k+1时，$\frac{3}{5}≤{a}_{k+1}≤1$，命题也成立．
由①②得$\frac{3}{5}$≤a_n≤1．
（2）当n=1时，|a₂-a₁|=$\frac{2}{5}$，
当n≥2时，∵（${a}_{n}+\frac{2}{3}$）（${a}_{n-1}+\frac{2}{3}$）=（${a}_{n}+\frac{2}{3}$）$\frac{1}{{a}_{n}}$=1+$\frac{2}{3{a}_{n}}$$≥1+\frac{2}{3}$=$\frac{5}{3}$，
∴|a_n+1-a_n|=|$\frac{1}{{a}_{n}+\frac{2}{3}}-\frac{1}{{a}_{n-1}+\frac{2}{3}}$|=$\frac{|{a}_{n}-{a}_{n-1}|}{（{a}_{n}+\frac{2}{3}）（{a}_{n-1}+\frac{2}{3}）}$≤$\frac{3}{5}$|a_n-a_n-1|＜…＜（$\frac{3}{5}$）^n-1|a₂-a₁|=$\frac{2}{5}（\frac{3}{5}）^{n-1}$，
∴|a_2n-a_2n-1|≤|a_2n-a_2n-1|+|a_2n-1-a_2n-2|+…+|a_n+1-a_n|
≤$\frac{2}{5}（\frac{3}{5}）^{2n-2}+\frac{2}{5}（\frac{3}{5}）^{2n-3}+…+\frac{2}{5}（\frac{3}{5}）^{n-1}$=$\frac{2}{5}×\frac{（\frac{3}{5}）^{n-1}[1-（\frac{3}{5}）^{n}]}{1-\frac{3}{5}}$
=（$\frac{3}{5}$）^n-1-（$\frac{3}{5}$）^2n-1≤$\frac{3}{5}-（\frac{3}{5}）^{3}=\frac{48}{125}＜\frac{2}{5}$，
综上：|a_2n-a_n|≤$\frac{2}{5}$．

点评 本题考查数列不等式的证明，涉及到数学时纳法、放缩法等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，考查创新意识、应用意识，是难题．