Question

9．华中师大附中中科教处为了研究高一学生对物理和数学的学习是否与性别有关，从高一年级抽取60名同学（男同学30名，女同学30名），给所有同学物理题和数学题各一题，让每位同学自由选择一道题进行解答．选题情况如表：（单位：人）

	物理题	数学题	总计
男同学	16	14	30
女同学	8	22	20
总计	24	36	60

（1）在犯错误的概率不超过1%的条件下，能否判断高一学生对物理和数学的学习与性别有关？
（2）经过多次测试后发现，甲每次解答一道物理题所用的时间为5-8分钟，乙每次解答一道物理题所用的时间为6-8分钟，现甲、乙解同一道物理题，求甲比乙先解答完的概率；
（3）现从选择做物理题的8名女生中任意选取两人，对他们的解答情况进行全程研究，记甲、乙两女生被抽到的人数为X，求X的分布列和数学期望．
附表及公式：

P（K2?k）	0.15	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005	0.001
k	2.072	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828

K²=$\frac{n（ad-bc）^{2}}{（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）}$．

Answer 1

分析 （1）由表中数据求出K²≈4.444＜6.635，从而得到在犯错误的概率不超过1%的前提下，不能判断高一学生对物理和数学的学习与性质有关．
（2）设甲、乙解答一道物理题的时间分别为x，y分钟，由甲每次解答一道物理题所用的时间为5-8分钟，乙每次解答一道物理题所用的时间为6-8分钟，利用几何概型能求出甲比乙先解答完的概率．
（3）由题意知在选择物理题的8名女生中任意抽取两人，抽取方法有${C}_{8}^{2}$=28种，X的可能取值为0，1，2，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和E（X）．

解答 解：（1）由表中数据得K²=$\frac{60×（16×22-14×8）^{2}}{30×30×24×36}$=$\frac{40}{9}$≈4.444＜6.635，
在犯错误的概率不超过1%的前提下，不能判断高一学生对物理和数学的学习与性质有关．
（2）设甲、乙解答一道物理题的时间分别为x，y分钟，
∵甲每次解答一道物理题所用的时间为5-8分钟，乙每次解答一道物理题所用的时间为6-8分钟，
∴$\left\{\begin{array}{l}{5≤x≤8}\\{6≤x≤8}\end{array}\right.$，设事件A表示“甲比乙先解答完”，则A表示“x＜y”，
作出可行域，如右图：
∴甲比乙先解答完的概率P（A）=$1-\frac{\frac{1}{2}×2×2}{2×3}$=$\frac{2}{3}$．
（3）由题意知在选择物理题的8名女生中任意抽取两人，抽取方法有${C}_{8}^{2}$=28种，
其中甲、乙两人没有一个人被抽到有${C}_{6}^{2}=15$种，恰有一人被抽到有${C}_{2}^{1}{C}_{6}^{1}=12$种，两人都被抽到有${C}_{2}^{2}=1$种，
∴X的可能取值为0，1，2，
P（X=0）=$\frac{15}{28}$，P（X=1）=$\frac{12}{28}=\frac{3}{7}$，P（X=2）=$\frac{1}{28}$，
∴X的分布列为：

X	0	1	2
P	$\frac{15}{28}$	$\frac{12}{28}$	$\frac{1}{28}$

∴E（X）=$0×\frac{15}{28}+1×\frac{12}{28}+2×\frac{1}{28}$=$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查独立检验的应用，考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望，涉及几何概型、排列组合等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想，是中档题．