Question

6．{a_n}数列的前n项和S_n符合S_n=k（2ⁿ-1）且a₃=8，
（1）求{a_n}通项公式；
（2）求{na_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）由已知取得k值，得到首项与前n项和，再由a_n=S_n-S_n-1（n≥2）求得数列通项公式；
（2）利用错位相减法求{na_n}的前n项和T_n．

解答 解：（1）由S_n=k（2ⁿ-1），得a₁=S₁=k，
a₃=S₃-S₂=7k-3k=4k=8，
∴k=2．
则S_n=k（2ⁿ-1）=2ⁿ⁺¹-2．
∴当n≥2时，${a}_{n}={S}_{n}-{S}_{n-1}=（{2}^{n+1}-2）-（{2}^{n}-2）={2}^{n}$．
a₁=2适合上式，
∴${a}_{n}={2}^{n}$；
（2）na_n=n•2ⁿ，
∴${T}_{n}=1•{2}^{1}+2•{2}^{2}+3•{2}^{3}+…+n•{2}^{n}$，
则$2{T}_{n}=1•{2}^{2}+2•{2}^{3}+…+n•{2}^{n+1}$，
两式作差得：$-{T}_{n}=2+{2}^{2}+…+{2}^{n}-n•{2}^{n+1}$=$\frac{2（1-{2}^{n}）}{1-2}-n•{2}^{n+1}={2}^{n+1}-2-n•{2}^{n+1}$．
∴${T}_{n}=（n-1）•{2}^{n+1}+2$．

点评 本题考查数列递推式，考查由数列的前n项和求通项，训练了错位相减法求数列的前n项和，是中档题．