Question

11．已知函数$f（x）=\sqrt{3}sin2x+2{cos^2}x+1$．
（I）求函数f（x）的单调递增区间和对称中心；
（II）设△ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且$c=\sqrt{3}，f（C）=3$，若向量$\overrightarrow m=（sinA，-1）$与向量$\overrightarrow n=（2，sinB）$垂直，求a，b的值．

Answer 1

分析 （I）利用二倍角和辅助角公式将函数化简，结合三角函数的性质求解单调递增区间和对称中心即可．
（II）根据f（C）=3，求出C角大小；向量$\overrightarrow m=（sinA，-1）$与向量$\overrightarrow n=（2，sinB）$垂直，建立关系，求出角A，B的关系，利用余弦定理即可求出a，b的值．

解答 解：（I）函数$f（x）=\sqrt{3}sin2x+2{cos^2}x+1$．
化简可得：$f（x）=\sqrt{3}sin2x+cos2x+2=2sin（2x+\frac{π}{6}）+2$，
令$-\frac{π}{2}+2kπ≤2x+\frac{π}{6}≤\frac{π}{2}+2kπ$，
得：$-\frac{π}{3}+kπ≤x≤\frac{π}{6}+kπ$，
∴函数f（x）的单调递增区间为$[-\frac{π}{3}+kπ，\frac{π}{6}+kπ]，k∈z$．
∵对称中心横坐标：$2x+\frac{π}{6}=kπ$，k∈Z，
∴$x=-\frac{π}{12}+\frac{kπ}{2}，k∈Z$，
∴对称中心：$（-\frac{π}{12}+\frac{kπ}{2}，2）$，k∈Z．
（II）由题意可知，$f（C）=2sin（2C+\frac{π}{6}）+2=3$，
∴$sin（2C+\frac{π}{6}）=\frac{1}{2}$，
∵0＜C＜π，
∴$2C+\frac{π}{6}=\frac{π}{6}$或$2C+\frac{π}{6}=\frac{5π}{6}$，
即C=0（舍）或$C=\frac{π}{3}$．
又∵$\overrightarrow m=（sinA，-1）$与$\overrightarrow n=（2，sinB）$垂直，
∴2sinA-sinB=0，即2a=b…①．
由余弦定理：
${c^2}={a^2}+{b^2}-2abcos\frac{π}{3}={a^2}+{b^2}-ab=3$…②．
由①②解得，a=1，b=2．
故得a的值为1，b的值为2．

点评 本题主要考查三角函数的图象和性质以及向量的垂直的坐标计算和余弦定理的运用，利用三角函数公式将函数进行化简是解决本题的关键．