Question

2．椭圆与双曲线$\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{12}=1$的焦点相同，且椭圆上一点到两焦点的距离之和为10，则椭圆的离心率为$\frac{4}{5}$．

Answer 1

分析 由双曲线方程求出椭圆的焦距，再由定义求得长轴长，代入离心率公式得答案．

解答 解：由双曲线$\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{12}=1$，得c²=4+12=16，∴c=4．
∴椭圆与双曲线的焦距相等为2c=8．
又椭圆上一点到两焦点的距离之和为10，即2a=10．
∴椭圆的离心率为e=$\frac{2c}{2a}=\frac{8}{10}=\frac{4}{5}$．
故答案为：$\frac{4}{5}$．

点评 本题考查椭圆与双曲线的简单性质，考查椭圆定义的应用，是基础的计算题．