Question

12．现有四分之一圆形的纸板（如图），∠AOB=90°，圆半径为1，要裁剪成四边形OAPB，且满足AP∥OB，∠OAB=30°，∠POA=θ，记此四边形OAPB的面积为f（θ），求f（θ）的最大值．

Answer 1

分析 利用已知条件列出梯形的面积的表达式，利用三角函数的最值求法求解即可．

解答 解：∵在直角梯形OAPB中，有AP=sinθ，OA=cosθ，$OB=\frac{{\sqrt{3}}}{3}cosθ$
∴${S_{OAPB}}=\frac{1}{2}（|{OB}|+|{AP}|）•|{OA}|=\frac{1}{2}（\frac{{\sqrt{3}}}{3}cosθ+sinθ）•cosθ$-----（4分）
=$\frac{1}{2}（\frac{{\sqrt{3}}}{3}{cos^2}θ+sinθ•cosθ）=\frac{1}{2}（\frac{{\sqrt{3}}}{3}\frac{1+cos2θ}{2}+\frac{1}{2}sin2θ）$=$\frac{{\sqrt{3}}}{6}sin（2θ+\frac{π}{6}）+\frac{{\sqrt{3}}}{12}$．-----（8分）
又∵$0＜θ＜\frac{π}{2}$，则$\frac{π}{6}＜2θ+\frac{π}{6}＜\frac{7π}{6}$，
∴当且仅当$2θ+\frac{π}{6}=\frac{π}{2}$即$θ=\frac{π}{6}$时，面积取得最大值$\frac{{\sqrt{3}}}{4}$．（12分）

点评 本题考查实际问题的处理方法，三角函数的最值的应用，考查转化思想以及计算能力．