Question

18．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2ccosB=2a-$\sqrt{3}$b．
（Ⅰ）求C；
（Ⅱ）若a=2，△ABC的面积为$\sqrt{3}$，求c．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知及正弦定理得：2sinCcosB=2sinA-$\sqrt{3}$sinB，利用两角和的正弦函数公式整理可得cosC=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
结合C的范围即可得解．
（Ⅱ）由△ABC的面积为$\sqrt{3}$，得$\frac{1}{2}$absinC=$\sqrt{3}$，可解得b，由余弦定理即可解得c的值．

解答 解：（Ⅰ）由已知及正弦定理得：2sinCcosB=2sinA-$\sqrt{3}$sinB，…（2分）
即：2sinCcosB=2sin（B+C）-$\sqrt{3}$sinB，…（3分）
所以：2sinCcosB=2sinCcosB+2cosCsinB-$\sqrt{3}$sinB，可得：cosC=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
所以：C=$\frac{π}{6}$…（6分）
（Ⅱ）由△ABC的面积为$\sqrt{3}$，得$\frac{1}{2}$absinC=$\sqrt{3}$，
可得：$\frac{1}{2}×2×b×\frac{1}{2}$=$\sqrt{3}$，
可得：b=2$\sqrt{3}$，…（9分）
由余弦定理可得：c²=a²+b²-2abcosC=（2$\sqrt{3}$）²+2²-2×$2\sqrt{3}×2×\frac{\sqrt{3}}{2}$，
解得：c=2．…（12分）

点评 本题主要考查了正弦定理，两角和的正弦函数公式，三角形面积公式，余弦定理在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．