Question

15．已知A（4，2），B（m，1），C（2，3），D（1，6）．
（1）若$\overrightarrow{AB}$∥$\overrightarrow{CD}$，求向量$\overrightarrow{BD}$在$\overrightarrow{AC}$方向上的投影；
（2）若向量$\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{BC}$，$\overrightarrow{CD}$中存在互相垂直的两个向量，求实数m的值．

Answer 1

分析 （1）求出向量坐标，根据向量共线求出m的值，结合向量投影的定义进行求解即可．
（2）求出向量坐标，根据向量垂直转化为数量积为0，解方程即可．

解答 解：（1）$\overrightarrow{AB}$=（m-4，-1），$\overrightarrow{CD}$=（-1，3），
若$\overrightarrow{AB}$∥$\overrightarrow{CD}$，则3（m-4）-（-1）（-1）=0，得m=$\frac{13}{3}$，
即B（$\frac{13}{3}$，1），
则$\overrightarrow{BD}$=（-$\frac{10}{3}$，5），$\overrightarrow{AC}$=（-2，1），
则向量$\overrightarrow{BD}$在$\overrightarrow{AC}$方向上的投影为$\frac{\overrightarrow{BD}•\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AC}|}$=$\frac{-\frac{10}{3}×（-2）+5×1}{\sqrt{4+1}}$=$\frac{35}{3\sqrt{5}}$=$\frac{7\sqrt{5}}{3}$．
（2）$\overrightarrow{AB}$=（m-4，-1），$\overrightarrow{CD}$=（-1，3），$\overrightarrow{BC}$=（2-m，2），
若$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{CD}$=0，得-（m-4）-3=0，得m=1，
若$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{BC}$=0，得（m-4）（2-m）-2=0，得m²-6m+10=0，判别式△=36-40=-4＜0，则方程无解，
若$\overrightarrow{CD}$•$\overrightarrow{BC}$=0，则-（2-m）-2×3=0，得m=8，
即若向量$\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{BC}$，$\overrightarrow{CD}$中存在互相垂直的两个向量，则m=1或m=8．

点评 本题主要考查向量数量积的应用，根据向量垂直和向量平行的关系建立方程是解决本题的关键．