Question

6．已知曲线C的极坐标方程是ρ=4sinθ，设直线l的参数方程是$\left\{\begin{array}{l}{x=t-1}\\{y=2t+1}\end{array}\right.$（t为参数）．
（Ⅰ）将曲线C的极坐标方程转化为直角坐标方程；
（Ⅱ）设直线l与曲线C的交点是M，N，O为坐标原点，求△OMN的面积．

Answer 1

分析 （I）极坐标方程两边同乘ρ，根据极坐标与直角坐标的对应关系得出直角坐标方程；
（II）把直线的参数方程代入曲线C的普通方程，利用根与系数的关系和参数的几何意义计算|MN|，利用距离公式计算O到直线l的距离，代入三角形的面积公式计算．

解答 解：（I）∵曲线C的极坐标方程是ρ=4sinθ，∴ρ²=4ρsinθ，
∴曲线C的直角坐标方程为x²+y²=4y，
（II）直线l的普通方程为2x-y+3=0，
∴点O到直线l的距离d=$\frac{3}{\sqrt{5}}$=$\frac{3\sqrt{5}}{5}$．
直线l的标准参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=-1+\frac{\sqrt{5}}{5}t}\\{y=1+\frac{2\sqrt{5}}{5}t}\end{array}\right.$（t为参数），
把$\left\{\begin{array}{l}{x=-1+\frac{\sqrt{5}}{5}t}\\{y=1+\frac{2\sqrt{5}}{5}t}\end{array}\right.$（t为参数）代入x²+y²=4y得：5t²-6$\sqrt{5}$t-10=0，
设M，N对应的参数分别为t₁，t₂，则t₁+t₂=$\frac{6\sqrt{5}}{5}$，t₁t₂=-2．
∴|MN|=$\sqrt{\frac{36}{5}+8}$=$\frac{2\sqrt{19}}{\sqrt{5}}$，
∴△OMN的面积为$\frac{1}{2}$|MN|•d=$\frac{1}{2}$×$\frac{2\sqrt{19}}{\sqrt{5}}$×$\frac{3\sqrt{5}}{5}$=$\frac{\sqrt{19}}{5}$．

点评 本题考查了极坐标方程，参数方程与普通方程的转化，参数的几何意义，属于中档题．