Question

8．已知曲线C₁的参数方程为$\left\{{\begin{array}{l}{x=2cosθ}\\{y=\sqrt{3}sinθ}\end{array}}\right.$（其中θ为参数），点P（-1，0），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线C₂的极坐标方程为ρcosθ-ρsinθ+1=0．
（1）分别写出曲线C₁的普通方程与直线C₂的参数方程；
（2）若曲线C₁与直线C₂交于A，B两点，求|PA|•|PB|．

Answer 1

分析 （1）利用同角三角函数的关系消去参数得出C₁的普通方程，把C₂的极坐标方程先化成普通方程求出倾斜角和一个特殊点，再得出标准参数方程；
（2）把直线的标准参数方程代入C₁的普通方程，利用根与系数的关系和参数的几何意义解出．

解答 解：（1）曲线C₁的普通方程为$：\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$，
直线C₂的普通方程为x-y+1=0，可知该直线过点P（-1，0），倾斜角为45°，
所以直线C₂的参数方程为$\left\{{\begin{array}{l}{x=-1+\frac{{\sqrt{2}}}{2}t}\\{y=\frac{{\sqrt{2}}}{2}t}\end{array}}\right.$（t为参数）．
（2）将$\left\{{\begin{array}{l}{x=-1+\frac{{\sqrt{2}}}{2}t}\\{y=\frac{{\sqrt{2}}}{2}t}\end{array}}\right.$代入$：\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$，得$7{t^2}-6\sqrt{2}t-18=0$，
设A，B对应的参数分别为t₁，t₂，则${t_1}•{t_2}=-\frac{18}{7}$，
于是|PA|•|PB|=$|{t_1}•{t_2}|=\frac{18}{7}$．

点评 本题考查了简单曲线的参数方程与普通方程的转化，参数的几何意义，属于中档题．