Question

13．设函数f（x）=sinωx+$\sqrt{3}$cosωx（ω＞0）的周期为π．
（Ⅰ）求f（x）的单调递增区间；
（Ⅱ）说明函数f（x）的图象可由y=sinx的图象经过怎样的变换而得到．

Answer 1

分析 （Ⅰ）通过两角和与差的三角函数化简函数的解析式，通过三角函数的周期求解ω，利用正弦函数的单调增区间求解即可
（Ⅱ）法一：把y=sinx的图象向左平移$\frac{π}{3}$个单位，然后再把函数图象上的点的横坐标缩短到原来的$\frac{1}{2}$，把函数的图象上的点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变推出结果；
法二：把y=sinx的图象上的点的横坐标缩短到原来的$\frac{1}{2}$（纵坐标不变），然后再将所得函数的图象向左平移$\frac{π}{6}$个单位，在把图象上的点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变），求出结果即可．

解答 解：（Ⅰ）$f（x）=sinωx+\sqrt{3}cosωx$=$2（\frac{1}{2}sinωx+\frac{{\sqrt{3}}}{2}cosωx）$=$2sin（ωx+\frac{π}{3}）$∴$T=\frac{2π}{ω}=π$，即ω=2，
∴$f（x）=2sin（2x+\frac{π}{3}）$…3分
∵$2kπ-\frac{π}{2}≤2x+\frac{π}{3}≤2kπ+\frac{π}{2}$，k∈Z∴$kπ-\frac{5π}{12}≤x≤kπ+\frac{π}{12}$
故f（x）的单调递增区间：$[kπ-\frac{5π}{12}，kπ+\frac{π}{12}]$k∈Z…5分
（Ⅱ）法一：把y=sinx的图象向左平移$\frac{π}{3}$个单位，得到$y=sin（x+\frac{π}{3}）$的图象；
再把$y=sin（x+\frac{π}{3}）$的图象上的点的横坐标缩短到原来的$\frac{1}{2}$（纵坐标不变），得到$y=sin（2x+\frac{π}{3}）$的图象；
最后把$y=sin（2x+\frac{π}{3}）$的图象上的点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变），即可得到$f（x）=2sin（2x+\frac{π}{3}）$的图象． …9分（不对酌情给分）
法二：把y=sinx的图象上的点的横坐标缩短到原来的$\frac{1}{2}$（纵坐标不变），得到y=sin2x的图象；
再将y=sin2x的图象向左平移$\frac{π}{6}$个单位，得到$y=sin（2x+\frac{π}{3}）$的图象；
最后把$y=sin（2x+\frac{π}{3}）$的图象上的点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变），即可得到$f（x）=2sin（2x+\frac{π}{3}）$的图象．…9分（不对酌情给分）

点评 本题考查三角函数的图形的变换，正弦函数的单调性的求法，考查转化思想以及计算能力．