Question

2．已知直线l：y=x+m与圆C：x²+y²-2x+4y-4=0相交于A，B不同两点．
（1）求m的取值范围；
（2）设以AB为直径的圆经过原点，求直线l的方程．

Answer 1

分析 （1）由$\left\{\begin{array}{l}{y=x+m}\\{{x}^{2}+{y}^{2}-2x+4y-4=0}\end{array}\right.$，得：2x²+2（m+1）x+m²+4m-4=0，由此利用根的判别式能求出m的取值范围．
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则${x}_{1}+{x}_{2}=-（m+1），{x}_{1}{x}_{2}=\frac{{m}^{2}+4m-4}{2}$，由于以AB为直径的圆为（x-x₁）（x-x₂）+（y-y₁）（y-y₂）=0，若它经过原点，则x₁x₂+y₁y₂=0，由此能求出直线l的方程．

解答 解：（1）由$\left\{\begin{array}{l}{y=x+m}\\{{x}^{2}+{y}^{2}-2x+4y-4=0}\end{array}\right.$，得：2x²+2（m+1）x+m²+4m-4=0，
∵直线l：y=x+m与圆C：x²+y²-2x+4y-4=0相交于A，B不同两点，
∴△=4（m+1）²-8（4m-4）＞0，
解得$-3-3\sqrt{2}＜m＜-3+3\sqrt{2}$，
∴m的取值范围是（-3-3$\sqrt{2}$，-3+3$\sqrt{2}$）．
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则${x}_{1}+{x}_{2}=-（m+1），{x}_{1}{x}_{2}=\frac{{m}^{2}+4m-4}{2}$，
y₁y₂=（x₁+m）（x₂+m）=x₁x₂+m（x₁+x₂）+m²，
由于以AB为直径的圆为（x-x₁）（x-x₂）+（y-y₁）（y-y₂）=0，
若它经过原点，则x₁x₂+y₁y₂=0，
∴2x₁x₂+m（x₁+x₂）+m²=0，
∴$2×\frac{{m}^{2}+4m-4}{2}$+m×$\frac{-（m+1）}{2}$+m²=0
解得m=-4或m=1．
直线l的方程为x-y-4=0或x-y+1=0．

点评 本题考查实数的取值范围、直线方程的求法，考查圆、直线方程、根的判别式、韦达定理等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查函数与方程思想、化归与转化思想，是中档题．