Question

4．函数$f（x）=2sin（{ωx+φ}）（{0＜ω＜12，|φ|＜\frac{π}{2}}）$，若$f（0）=-\sqrt{3}$，且函数f（x）的图象关于直线$x=-\frac{π}{12}$对称，则以下结论正确的是（　　）

• A． 函数f（x）的最小正周期为$\frac{π}{3}$
• B． 函数f（x）的图象关于点$（{\frac{7π}{9}，0}）$对称
• C． 函数f（x）在区间$（{\frac{π}{4}，\frac{11π}{24}}）$上是增函数
• D． 由y=2cos2x的图象向右平移$\frac{5π}{12}$个单位长度可以得到函数f（x）的图象

Answer 1

分析 根据函数$f（0）=-\sqrt{3}$，求出φ，函数f（x）的图象关于直线$x=-\frac{π}{12}$对称，可得ω的值，求出了f（x）的解析式，依次对各选择判断即可．

解答 解：函数$f（x）=2sin（{ωx+φ}）（{0＜ω＜12，|φ|＜\frac{π}{2}}）$，
∵$f（0）=-\sqrt{3}$，即2sinφ=$-\sqrt{3}$，
∵$-\frac{π}{2}＜$φ$＜\frac{π}{2}$
∴φ=$-\frac{π}{3}$
又∵函数f（x）的图象关于直线$x=-\frac{π}{12}$对称，
∴$-ω×\frac{π}{12}-\frac{π}{3}=\frac{π}{2}+kπ$，k∈Z．
可得ω=12k-10，
∵0＜ω＜12．
∴ω=2．
∴f（x）的解析式为：f（x）=2sin（2x-$\frac{π}{3}$）．
最小正周期T=$\frac{2π}{2}=π$，∴A不对．
当x=$\frac{7π}{9}$时，可得y≠0，∴B不对．
令-$\frac{π}{2}≤$2x-$\frac{π}{3}$$≤\frac{π}{2}$，可得$-\frac{π}{12}≤x≤\frac{5π}{12}$，∴C不对．
函数y=2cos2x的图象向右平移$\frac{5π}{12}$个单位，可得2cos2（x-$\frac{5π}{12}$）=2cos（2x-$\frac{5π}{6}$）=2sin（2x-$\frac{5π}{6}+\frac{π}{2}$）=2sin（2x-$\frac{π}{3}$）．∴D项正确．
故选D

点评 本题主要考查对三角函数的化简能力和三角函数的图象和性质的运用，确定f（x）的解析式是解决本题的关键．属于中档题．