Question

8．（理） 如图，在平面直角坐标系xoy中，点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）在单位圆上，∠xOA=α，$α∈（\frac{π}{6}，\frac{π}{2}）$，$∠AOB=\frac{π}{3}$．
（1）若$cos（α+\frac{π}{4}）=-\frac{3}{5}$，求x₁的值；
（2）过点A作x轴的垂线交单位圆于另一点C，过B作x轴的垂线，垂足为D，记△AOC的面积为S₁，△BOD的面积为S₂，设f（α）=S₁+S₂，求函数f（α）的最大值．

Answer 1

分析 （1）由三角函数的定义有，x₁=cosα，利用同角三角函数基本关系式可求$sin（α+\frac{π}{4}）=\frac{4}{5}$，利用两角差的余弦函数公式即可计算得解．
（2）由图可知S₁=cosαsinα，${S_2}=\frac{1}{2}cos（α+\frac{π}{3}）sin（α+\frac{π}{3}）$，利用三角函数恒等变换的应用化简可求f（α）=$\frac{\sqrt{7}}{4}$sin（2α-θ），其中$tanθ=\frac{{\sqrt{3}}}{5}$，$tanθ=\frac{{\sqrt{3}}}{5}＜\frac{{\sqrt{3}}}{3}=tan\frac{π}{6}$，$0＜θ＜\frac{π}{6}$，利用正弦函数的图象和性质即可求得最大值．

解答 （理）解：（1）由三角函数的定义有，x₁=cosα，
因为$cos（α+\frac{π}{4}）=-\frac{3}{5}$，
所以$sin（α+\frac{π}{4}）=\frac{4}{5}$，
所以${x_1}=cosα=cos[（α+\frac{π}{4}）-\frac{π}{4}]$，
即${x_1}=\frac{{\sqrt{2}}}{2}[cos[（α+\frac{π}{4}）+sin（α+\frac{π}{4}）]=\frac{{\sqrt{2}}}{10}$．
（2）由图可知S₁=cosαsinα，${S_2}=\frac{1}{2}cos（α+\frac{π}{3}）sin（α+\frac{π}{3}）$，
所以$f（α）=cosαsinα-\frac{1}{2}cos（α+\frac{π}{3}）sin（α+\frac{π}{3}）$，
化简得$f（α）=\frac{1}{2}sin2α-\frac{1}{4}sin（2α+\frac{2π}{3}）$=$\frac{5}{8}sin2α-\frac{{\sqrt{3}}}{8}sin2α$=$\frac{{\sqrt{7}}}{4}sin（2α-θ）$，
其中$tanθ=\frac{{\sqrt{3}}}{5}$，$tanθ=\frac{{\sqrt{3}}}{5}＜\frac{{\sqrt{3}}}{3}=tan\frac{π}{6}$，$0＜θ＜\frac{π}{6}$．
因为$\frac{π}{6}＜θ＜\frac{π}{2}$，所以$\frac{π}{3}＜2α＜π$，从而$\frac{π}{3}-θ＜2α-θ＜π-θ$，
由上可知$\frac{π}{6}＜\frac{π}{3}-θ＜\frac{π}{3}$，$\frac{5π}{6}＜π-θ＜π$，
所以，当$2α-θ=\frac{π}{2}$时，$f{（α）_{max}}=\frac{{\sqrt{7}}}{4}$．

点评 本题主要考查了三角函数的定义，同角三角函数基本关系式，两角差的余弦函数公式，三角函数恒等变换的应用，正弦函数的图象和性质在三角函数化简求值中的综合应用，考查了转化思想和数形结合思想，属于中档题．