Question

5．已知$\overrightarrow a$=（$\sqrt{3}$sinx，cosx），$\overrightarrow b$=（cosx，-cosx），函数f（x）=$\overrightarrow a$•$\overrightarrow b$-$\frac{1}{2}$．
（1）若x∈[$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{2}$]，求函数f（x）的最值及对应x的值；
（2）若不等式[f（x）-m]²＜1在x∈[$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{2}$]上恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据平面向量的数量积运算，利用三角恒等变换化简函数f（x），根据x的取值范围求出f（x）的最大、最小值；
（2）方法一：由[f（x）-m]²＜1得出f（x）-1＜m＜f（x）+1，利用最大、最小值求出m的取值范围．
方法二：根据[f（x）-m]²＜1得出m-1＜f（x）＜m+1，由此求出m的取值范围．

解答 解：（1）因为$\overrightarrow a$=（$\sqrt{3}$sinx，cosx），$\overrightarrow b$=（cosx，-cosx），函数f（x）=$\overrightarrow a$•$\overrightarrow b$-$\frac{1}{2}$．
所以f（x）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x-$\frac{1}{2}$cos2x-1=sin（2x-$\frac{π}{6}$）-1，…（4分）
∵x∈[$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{2}$]，∴$\frac{π}{3}$≤2x-$\frac{π}{6}$≤$\frac{5π}{6}$，…（5分）
当2x-$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$，即x=$\frac{π}{3}$时，f（x）的最大值是f（x）_max=0，
当2x-$\frac{π}{6}$=$\frac{5π}{6}$，即x=$\frac{π}{2}$时，f（x）的最小值是f（x）_min=-$\frac{1}{2}$；…（7分）
（2）方法一：∵[f（x）-m]²＜1，（x∈[$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{2}$]），
∴f（x）-1＜m＜f（x）+1，（x∈[$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{2}$]），
∴m＞f（x）_max-1且m＜f（x）_min+1，
故m的取值范围是（-1，$\frac{1}{2}$）．…（12分）
方法二：∵[f（x）-m]²＜1，（x∈[$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{2}$]），
∴m-1＜f（x）＜m+1，（x∈[$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{2}$]），
∴m-1＜-$\frac{1}{2}$，且m+1＞0，
解得-1＜m＜$\frac{1}{2}$；
故m的取值范围是（-1，$\frac{1}{2}$）．

点评 本题考查了平面向量的数量积与三角恒等变换的应用问题，也考查了三角函数的图象与性质的应用问题，是综合题．