Question

设复数a=

1+ 3 i

2

，b=

1- 3 i

2

（其中i为虚数单位）
（1）求a²、a³、b²、b³的值；
（2）当n∈N^*时，计算aⁿ+bⁿ．

Answer 1

考点：复数代数形式的混合运算

专题：数系的扩充和复数

分析：（1）利用复数代数形式的运算法则或三角形式的运算法则即可得出；
（2）利用“棣莫弗定理”即可得出．

解答： 解：（1）∵复数a=

1+ 3 i

2

，b=

1- 3 i

2

，
∴a=cos

π

3

+isin

π

3

，b=cos(-

π

3

)+isin(-

π

3

)=

.

a

，
∴a2=cos

2π

3

+isin

2π

3

=-

1

2

+

3

2

i，b2=cos(-

2π

3

)+isin(-

2π

3

)=-

1

2

-

3

2

i．
a³=cosπ+isinπ=-1，b³=cos（-π）+isin（-π）=-1．
（2）由（1）可知：aⁿ+bⁿ=(cos

π

3

+isin

π

3

)n+[cos(-

π

3

)+isin(-

π

3

)]n
=2cos

nπ

3

+i[sin

nπ

3

+sin(-

nπ

3

)]
=2cos

nπ

3

．

点评：本题考查了复数代数形式的运算法则或“棣莫弗定理”，属于中档题．