Question

【题目】已知函数的定义域为，其图象关于点中心对称，其导函数为，当时， ，则不等式的解集为__________．

Answer 1

【答案】

【解析】由题意设g（x）=（x+1）f（x），
则g′（x）=f（x）+（x+1）f′（x），
∵当x＜-1时，（x+1）[f（x）+（x+1）f′（x）]＜0，
∴当x＜-1时，f（x）+（x+1）f′（x）＞0，
则g（x）在（-∞，-1）上递增，
∵函数f（x）的定义域为R，其图象关于点（-1，0）中心对称，
∴函数f（x-1）的图象关于点（0，0）中心对称，
则函数f（x-1）是奇函数，
令h（x）=g（x-1）=xf（x-1），
∴h（x）是R上的偶函数，且在（-∞，0）递增，
由偶函数的性质得：函数h（x）在（0，+∞）上递减，
∵h（1）=f（0），∴不等式xf（x-1）＞f（0）化为：h（x）＞h（1），
即|x|＜1，解得-1＜x＜1，
∴不等式的解集是（-1，1），
故答案为：（-1，1）．